Determinantes Lineales de 2x2 (18 de noviembre del 2009)

Con cada par de ecuaciones lineales se asocian tres arreglos númericos llamados determinantes que constan de renglones y columnas.

El determinante del sistema (BETA)- Se forma con los coeficientes de x, y,

Sistema Determinantes del sistema

3x+y=5 BETA= 3 1

4x+2y=8 4 2

Sustituyendo los coeficientes de x, por la columna de terminos costantes, se escribe el determinate de x igual para y

BETA x = 5 1 BETA y = 3 5

8 2 4 8

Cada uno de estos arreglos numericos tiene un valor, para obtenerlo resta a multiplicacion de la diagonal descendiente la multiplicacion ascendente.

Dividiendo el determinante de cada variable entre el determinante

Funciones y Ecuaciones Lineales (9 de Noviembre del 2009)

La función lineal ax+b=0 deriva de la función lineal y=ax+b. En la funcion lineal existen 2 variables que se relacionan de esta forma.
La función lineal Valor de X Produce valor Y
y=2x+3 1 y=2(1)+3

Funcion Lineal
Para cada valor de X la funcion lineal y=ax+b produce un solo valor de y. Su grafica es una linea recta.
También se puede obtener el valor de X que corresponde a un valor especifico de Y
Funcion Valor de y Ecuacion Valor de X
Y=2x+3 -1 -1=2x+3 x=-2


Interseccion en los ejes
La grafica de y=ax+b interseca a los ejes
Ejemplo: -b/a
eje y = b
Asi el eje y =2x+3, su interseccion x es -3/2 y su interseccion son (-3/2, 2)

Propiedad Conmutativa, Propiedad Asociativa y Propiedad Distributiva (20 de octubre del 2009)

Propiedad Conmutativa

La ley conmutativa dice que se puede cambiar el orden de los números en la suma o la multiplicación y a pesar de eso obtener la misma respuesta.
2+3=5 ó 2x+3x=5x
3+2=5 ó 3x+2x=5x

Propiedad Asociativa
Significa juntar o agrupar. Esta propiedad dice que si se suman 3 ó más números ó multiplicar 3 ó más números se pueden juntar los números en diferentes formas y obtener la misma respuesta
(4+5)+3=12 ó (4x+5x)+3x=12x
(5+4)+3=12 ó (5x+4x)+3x=12x

Propiedad Distributiva
Significa repartir. Esta propiedad nos dice que si la multiplicación de un número por la suma de dos ó más números se puede multiplicar el primer número por cada uno de los otros y luego sumar para obtener la respuesta.
2(3+4)=2(3)+2(4)
2x(3x+4x)=2x(3x)+2x(3x)+2x(4x)

Factorización (19 de octubre del 2009)

Factorización de x2+bx+c
x2+bx+c=(x+?) (x+?)
x2+5x+6=(x+2) (x+3)

Nota: porque 2 y 3 al sumarse dan 5 y al multiplicarse dan 6

Factorización de ax2+bx+c
ax2+bx+c=(ax+?) (ax+?)/a
6x2+32x+10=(6x+30) (6x+2)/6
6x*10=60
ac=60
30+2=32
30x2=60

(x+5) (6x+2)
6x2-32x+10

Factorización de Trinomios (13 de octubre del 2009)

Al multiplicar binomios de una variable se obtiene un trinomio.
Producto Desarrollo Trinomio
(x+2)(x+3)= x2+3x+2x+2(3) x2+5x+6

Simplificación de expresiones racionales
Una expresion racional es el cociente de dos polinomios
6x2+7x-5/2x2-x

Simplificar una expresión racional es elimininar los factores comunes del númerador y el denominador.
Esto se logra factorizando.
Simplificación de expresiones racionales:

1. Factorizar númerador y denominador
2. Cancelar factores comunes.

Expresión racional que no contiene factores comunes es irreductible.

"Expresión Irreductible"

10x+5/x2+2x=5(2x+1)/x(x+2)

10x3/2x=10x2/2x=5x2

-12x/3x2=12/3x=-4/x

Ejercicio

a)20x4+4x3+16x/2x=2x(10x3+2x2+8)/2x=10x3+2x2+8

b)x2-7x/3x=x(x-7)/3x=x-7/3

c)32x2/4x=32xx/4x=8x

d)-7x/10x2=-7x/10xx=-7/10x

"División de Polinomios"

Al dividir polinomios puede presentarse los siguientes casos

Monomio entre monomio

5x/2x2

Polinomio entre monomio

6x3+16x2+10x/2x

Polinomio entre polonomio

x2-2x-3/x+1

Las operaciones se efectuán simplificando factores comunes, cuando estos existen y resulta facil obtenerlos.

Ejemplo.-

5x/2x2=5x/2xx=5/2x

Ejercicio.-

6x3+16x2-10x/2x=6xxx+16xx-10x/2x=3x2+8x-5

x2-2x+3/x+1=(x+1) (x+3)/ (x+1)=x-3

x2-2x+3/x+1=(x+1) (x+3)/(x+1)=x-3

Factorización (12 de octubre del 2009)

Factorizar una expresion significa escribir una expresión equivalente expresada como la multiplicación de dos o más expresiones.

Ejemplo

12y2=(4y) (3y)

Procedimiento

• Encontrar el factor común
• Diferencia de cuadrados
• Trinomio cuadrado perfecto

Factorizar es escribir una expresion como producto

35=7x5

10+15=5(2+3)

2x+3x=x(2+3)

Factor común

Escribe el factor común de los terminos y aplica la propiedad distributiva

ab+ac=a(b+c)

Factorización productos notables

a2-b2=(a-b) (a+b)

a2+b=(a+b) (a+b)

a2+-2ab+b2=(a+b)2

Ejercicio

x3+x2+x= x(x2+x+1)

6y4-12y2-9= 3y(2y3-4y-3)

5x(x+4)-7(x+4)= (x+4) (5x-7)

x4-25x2= (x2-5)2 (x2+5)2

Potencias de Binomios (7 de octubre del 2009)

Potencia Binomio Desarrollo
0 (a+b)° 1
1 (a+b)1 a+b
2 (a+b)2 a2+2ab+b2
3 (a+b)3 a3+3a2b+3ab2+b3
4 (a+b)4 a4+4a3b+6a2b2+4ab3+a6

Ejemplo
(x+4)2
(a+b)2= a2+2ab+b2
(x)2+2(x)(4)+(4)
x2+8+16

Producto de Binomios (6 de octubre del 2009)

Con término común
(x+a) (x+b)
x2+(a+b)x+ab

Conjugados
(x+a) (x-a)
x2-a2

Al cuadrado
(x+-a)2
x2+-2ax+a2

Ejemplo:
multiplicando con término común
a) (x+2) (x+0.5)= x2(2+0.5)x+2(0.5)= x2+2.5x+1

multiplicando binomios conjugados
b) (x+1) (x-1)= x2-1

Elevando un binomio al cuadrado
(x-3)2= x2-6x+9

Ejercicio
1) (6x+2) (6x+1)=36x2+3(6x)-2
2) (x2-1) (x2+3)=x2+(-1+(-3)(x2)+(-1)(-3)
x2+(-4)(x2)+3
x4+-4x2+3
3) (2x-3) (2x+3)= 4x2+9

Multiplicación de Polinomios (5 de octubre del 2009)

Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada termino del primero por todos y por el segundo, luego se suman o se restan los términos semejantes.
Ejemplo:
3a2(4ab-5a2c)
Primer paso
Identificar que se va a multiplicar porque
3a2(4ab-5a2c)
Segundo paso
Realizar la multiplicación en el orden siguiente

• multiplicar los signos
• multiplicar los números
• multiplicar las letras

+3a(4ab)=12a3b

+3a2(-5a2b)-15a4c

3a2(4ab-5a2c)=12a3b-15a4c

Potencias (5 de octubre del 2009)

Significado de Exponentes
1) cero 2)negativos 3)fraccionarios
x°=1 X-n=1/n x=n/m= m raiz de X

Propiedades operativos de los exponentes
producto Xnm= Xn+m
cociente Xn/Xm= Xn-m

Potencias

• De una potencia (Xn)n= X n*m
• De un producto (xy)n=Xn Yn
• De un cociente Xn/y=Xn/Yn

Ejecicio

a)90.6°=1

b)10 -1= X-n=1/Xn=1/5

c)4 4/3= 4 raiz cuadrada de 4 a la 3 = 4 raiza cuadrada de 64

d) (-4)2 (-4)3= (-4)5

Transformaciones Algebraicas (23 de septiembre del 2009)

Polinomios
Las variables numéricas representan números y las expresiones algrebraicas indican operaciones con ellos aritméticas y lógicas.
Expresión numérica
3=2+1

Expresión algebraica
Xcuadrada=4

Tipos de Igualdades
Algebraicas
Valores de las variables que hacen cierta igualdad
Identidad Ecuación
todos Algunos o ninguno
a+a=2a es una identidad
Xcuadrada=4 es una ecuación

Propiedades artiméticas de la igualdad
1.- a=b~a+c=b+c
2.- a=b~ac=bc, c=/ 0

Ejemplo
Si x=23 entonces x+12=23+12, y recíprocamente (propiedad 1).
Por la segunda propiedad, de x=1 se obtiene 3x=3, y recíprocamente

Propiedades lógicas de la igualdad de números reales

1)a=a: propiedad reflexiva
2)a=b es lo mismo b=a: propiedad simetrica
3)si a=b y b=c entonces a=c: propiedad transitiva
4)si p(a) es cierta y a=b, p(b) es cierta: propiedad sustitución

Sucesión Geometrica y Series Geométricas (21 de septiembre del 2009)

Sucesión geométrica
Sus terminos tiene la forma
a1,a2,a3.....,a8....
a1,a1r,a1r2,a1r3.....
La suma de Sn de los términos de una sucesión es una serie.

Sucesión
3,6,12,24,28
Serie
3+6+12+24+48=S=93

Serie Geométricas
Se obtienen con el primer término y la rázon

finitas r#1 (a1/1-r) (1rn) la suma infinita no existe si
infinitas a1/1-r si/r/k1 /r/>1


Problemas
1)Encuentra la formula para el enesimo termino de la sucesion
a)primer termino a1=1 y d=3
formula
an=a1+d(n-1)
an=1+3(n-1)
an=1+3(n)
an=1+3n-3
an=1+3n+3
2)Encuentra los cuatro primeros términos de la sucesión
an=4n+3
a1=4(1)+3=7
a2=4(2)+3=11
a3=4(3)+3=15
a4=4(4)+3=19

Series y Sucesiones (15 de septiembre del 2009)

Las sucesiones aritméticas, son secuencias ordenadas de números, que tienen todos con un antecesor de la misma diferencia (d)
sucesión-1,3,5,7,9,11
diferencia-2,2,2,2,2,2
Sumando la diferencia a cada número se obtiene el siguiente número.
segundo
1+2(1)=3
tercero
1+2(2)=5
cuarto
1+2(3)=7

Los números de la sucesión son sus términos, la diferencia comúnes la resta de sus números con el anterior.
3-1=2
5-3=2

Una sucesión es finita si tiene "n" términos. En caso contrario es infinita.
El término en lugar "n" se llama n-ésimo termino.

Termino-enesimo (an=a+d(n-1)
de una sucesión un termino igual al primero mas la diferencia n-1 veces
Ejemplo:
Escribe los primero 5 números de la sucesión
an1=1+(-1)=1

a1+d 2,1,0,-1,-2,-3
an1=2+(-1)=1
an2=1+(-1)=0
an3=0+(-1)=-1
an4=-1+(-1)=2
an5=-2+(-1)=-3

Ejercicio (14 de septiembre del 2009)

1) Un auto recorre en tres horas y cuarto una distancia de 500km ¿Cuánto recorrera en 10 horas?
3 1/4
500km
10 hrs. 4/10=.25
1.25/500km=10hrs/X
X= 10hrs(500km)/1.25=4000
X=4000

2) Si las edades de Pedro hoy, y cuatro años más tarde, están a razón de 6:7¿Qué edad tiene hoy Pedro?
6/7=hoy/2=
6x2=12
12/7=1.7

Razón, Tasa y Proporción (9 de septiembre del 2009)

Razón- Es la comparación de dos cantidades de igual unidad.
Se representa como fracción, separado por dos puntos o la letra "a"
(40/5), 40:5 o 40 a 5

Tasa- Es la comparación de dos unidades de diferente unidad.
d,c # 0
127km/34lt

Proporcíon- Dos razones iguales son una proporción.
Dos tasas iguales son una proporción.
(4/5)= (9/x)
5x9=45
45/5
x=9

Ejercicios
Razón
¿Qué porciento es 89.69 de 4.7?
89.69/4.7=19.8
19.8X100=198

Expresiones Algebraicas (2 de septiembre del 2009)

1)Yo tengo el doble de CD´S que tu, y juntos tenemos 15.
¿Cuántos tiene cada uno?
2x+x=15 x=15/3
3x=15

2(x) x+4=5
2(5)=10 x=5-4
x=5 x=1

2x-2=5 24x+7=24
2x=5+2 24x=24-7
x=(1/2) x=17/24

2)Encuentra dos números sabiendo que la suma es igual a 24.4, sabiendo que un número es el triple del otro número.
3x+x=24
4x=24
x=24/4
x=6 el triple de 6 es 18

3)Toño, Luis y Ana ganan entre los tres $120, luis ganó $20 meños que Toño y Ana ganó el doble que Luis.¿Cuanto ganó cada uno?
Toño=x
Luis=x-20
Ana=2(x-20)

x+(x-20)+2(x-20)=20
4x=120+20+40
4x=180
x=180/4
x=45

Algebra (1 de septiembre del 2009)

literales
a,b,c,x,y,z

3 veces un número más cinco

3(a)+5

3 veces la suma de un múmero mas cinco

3(a+5)

2 veces la suma de a y b

2(a+b)

3 veces la diferencia entre 30 y C

3(30-0)

50 menos el producto de 10 por P

50-10xP

Porcentaje (31 de agosto del 2009)

ejemplo
100-80%
100x80=8000
100/8000=80

ejercicio de clase
problemas

1) Juan va al centro comercial y compra una camisa de $500, con un 30% de descuento, un pantalón de $400 con un 20% de descuento.¿Cuánto gasto en total?

operación 1 (camisa)
500-100%
150-30%
500x30=15000
100/15000=150
500-150=350
R1=$350

operación 2 (pantalón)
400-100%
80-20%
400x20=8000
100/8000=80
400-80=320
R2=$320

350-320=670
total que gasto=$670

2) Ana compra una camisa de $700 con un descuento de 50% mas 20%, unos jeans de $200 con un descuento de 30% mas 10% y unos zapatos de $1000 con un descuento del 25% mas 10%.¿Cuánto gasto en total?

Camisa
700-100%
350-50%
700x50=35000
100/35000=350

100-20=.80
350x.80=280
total camisa=$280

jeans
200-100%
-30%
100-30=.70
200x.70=140.00

100-10=.90
140x.90=126
total jeans=$126

zapatos
1000-100%
-25%
100-25=.75
1000x.75=750.00

100-10=.90
750x.90=675.00

750+280+126=1081

ejercicio 1









(1/2) 1=numerador 2=denominador
(4/5)+(2/5)=((4+2)/5)=(6/5)
(3/4)+(2/2)=((3+2)/4)=(7/4)
(2/6)+(3/2)=((2+9)/6)=(11/6)
(7/9)-(2/9)=(5/9)
(6/4)-(1/2)=((6-2)/4)=(4/4)=1
(3/2)x(7/4)=(21/8)
(4/2)x(8/4)=(32/8)
(4/5)/(3/9)=(4x9)/(5/3)=(36/15)
(7/9)/(4/8)=(56/36)

ejercicio 2
(1/2)x(3/4)=(3/8)
(8/9)/(1/2)=(16/9)
(7/4)/(6/5)=(24/35)
(5/2)+(7/4)=((10+7)/7)=(17/4)
(8/6)-(3/2)=((8-9)/6)=(-1/6)
(1/2)+4=4(1/2)
(12/2)-(1/4)=((24+1)/4)=((24+1(/4)=(25/4)
(27/2)x(1/4)=(27/8)
(3/2)+(5/2)=(8/2)
(1/2)+(1/2)=1

ejercicio 3
325/100=3.25
1/3=0.3
5/8=0.68

ejercicio 1 evaluacion (24 de agosto del 2009)

a) 2+5+7+4= 18
b) 5x4x3= 60
c) 3-4.5-2= 4.4
d) 8/3= 2
e) 25/5=5
f) (4x4) + (5x5)= 400
g) (3/3)+(7/3)+)(2/3)=
i) 25.5-0.5= 25.0
j) 75.4-30= 72.4
k) (1/2)x(1/4)x(1/8)=